凯利公式实战:数学告诉你该开多重 + 半凯利怎么用。

TL;DR. 凯利公式 f* = (bp − q) / b 给出长期复利期望最大化的仓位比例,但在加密圈三件事让它"理论很美 / 实战很苦":① 胜率根本估不准 ② 单笔盈亏比浮动巨大 ③ 全凯利波动率过大让你扛不住心态。所以你看到的所有职业交易员都用 0.25-0.5× 凯利。新手如果还在学,直接用固定 1% 风险规则——它本质上就是一个更保守的凯利近似。

1. 凯利公式到底是什么——从 Bell Labs 到 Thorpe 21 点。

1956 年,贝尔实验室物理学家 John Kelly Jr. 发了一篇叫《A New Interpretation of Information Rate》的论文。当时他研究的是电话线路上的信息传输速率——和赌博没关系。但论文的数学结构让数学教授 Edward Thorpe 眼前一亮:这公式能解决 21 点算牌算出有利时应该下多少注的问题。Kelly 给出了唯一答案——下注比例 f* = (bp − q) / b(p 胜率、q = 1−p、b 盈亏比),正好让长期资金的对数期望最大化。

1962 年,Thorpe 出版《Beat the Dealer》。后来他把这套思路搬到资本市场,1969 年创立 Princeton Newport Partners 对冲基金。1969-1988 年,该基金年化复合收益 19.1%,夏普率 1.99,20 年里只有 3 个月负收益——华尔街历史上最稳定的回报曲线之一。Thorpe 自己在《A Man for All Markets》里反复强调:"我实战用的是分数凯利,不是全凯利。"

2. 公式推导:f* = (bp − q) / b。

先把字母说清楚:

• f* = 你应该投入的资金比例(0 到 1 之间)
• p = 胜率(比如 0.55 表示 55%)
• q = 1 − p = 败率
• b = 盈亏比 = 平均盈利 ÷ 平均亏损(比如 b = 2 表示一次赢的钱是一次亏的 2 倍)

公式本身:

f* = (b × p − q) / b

简化版推导:重复 N 次同样的赌局,每次下注比例 f。资金倍数 = (1 + fb)^(Np) × (1 − f)^(Nq)。取对数后对 f 求导,令导数 = 0,解出最大值:

f* = (bp − q) / b

一个实例。 假设你有个突破策略,过去 50 单胜率 55%(p=0.55, q=0.45),平均赢 2.4 个 R(止损位)、平均亏 1 个 R,所以盈亏比 b = 2.4。代入公式:

f* = (2.4 × 0.55 − 0.45) / 2.4 = (1.32 − 0.45) / 2.4 = 0.87 / 2.4 ≈ 0.3625

也就是说全凯利告诉你:每单投入账户资金的 36.25%。看着是不是很多?这就是为什么没有人真的用全凯利——下一节我们详细看。

顺便:如果 bp ≤ q(也就是 bp − q ≤ 0),f* 是负值或零,意思是这个策略没有正期望,你应该不下注甚至反向做。这是凯利公式的第一层用处——筛掉负期望策略。

3. 不同胜率 × 盈亏比的凯利仓位对照表。

下面这张表是把胜率 50%/55%/60%/65% 和盈亏比 1/1.5/2/3 的组合都跑了一遍,得到的全凯利仓位百分比。看一眼你就知道为什么全凯利"看上去就吓人"。

注意几件事:胜率 50% + 盈亏比 1 = 0% 仓位(公平赌局,凯利让你不下注);胜率 55% + 盈亏比 2(典型趋势策略)= 32.5%——你愿意单笔押账户三分之一吗?胜率 65% + 盈亏比 3 = 53.3%——一半账户押一单,一次黑天鹅让你怀疑人生。

表上每个数字都是"数学最优",但数学最优 ≠ 你能扛住。在 55% 胜率下,连续 5 单亏的概率是 0.45^5 ≈ 1.85%(一个月内极可能发生一次),全凯利会让你账户回撤接近 70%。这种回撤几乎没人扛得住不改策略。

4. 加密圈实战的两大难点。

难点一:胜率根本估不准。

凯利公式的大前提是 p 和 b 已知且稳定。21 点能用全凯利,是因为算牌算出来的胜率误差小于 0.5%。但你在加密圈做 BTC 趋势突破:30 单胜率 55%,这 30 单是哪段市场?牛市的 55% 和熊市的 55% 完全不同;样本小,30 单的胜率真值 95% 置信区间是 37% 到 73%;市场风格还会切换(2022 年"逢低买入"整年负期望)。

这意味着代入凯利公式的 p 本身就有 20-30% 误差。凯利公式有个臭名昭著的特性:对 p 的高估极敏感。如果你以为胜率 55% 其实只有 50%,全凯利下长期增长率会从正变负——你以为在最优化复利,实际在最优化破产。

难点二:单笔盈亏比浮动巨大。

21 点每手输赢都是固定 1:1 或翻倍。加密合约不是:同样是"突破策略",有的单赢 1.2R 就触止盈走,有的赢 8R;有的亏 1R,有的因为跳空滑点亏 1.7R;偶尔极端事件(2024 年 8 月 5 日全球闪崩 ETH 30 分钟暴跌 20%)能让单笔亏损突破止损好几倍。

所以算"平均盈亏比 b"用什么数据?用平均数会被几单 5R+ 拉偏(凯利仓位偏大);用中位数又会忽略厚尾。编辑组做法是用中位数,然后对潜在亏损打 7 折。这样得到的 b 比平均数小约 20%。两个难点加起来,意味着代入凯利公式的 p 和 b 都有显著误差,而凯利公式对误差极其敏感。安全做法只能乘 0.5。

5. 半凯利、四分之一凯利:为什么职业交易员都用 0.25-0.5×。

"分数凯利"(Fractional Kelly)的核心数学事实:

• 0.5 × 凯利:长期增长率约为全凯利的 75%;但最大回撤减少约 50%。
• 0.25 × 凯利:长期增长率约为全凯利的 44%;但最大回撤减少约 75%。

翻译成人话:用半凯利,你只少赚四分之一的长期收益,但回撤体验直接减半。这是一个极其划算的交易。对于绝大多数职业交易员,扛 30% 回撤和扛 60% 回撤,是"还能继续按策略执行" vs "中途改策略 + 亏更多"的差别。

6. 凯利 vs 1% 风险规则:谁更适合谁。

1% 风险规则:每单最大亏损不超过账户的 1%。比如账户 10,000 USDT,单笔止损位距离开仓位是 2%,那这单最多开 10,000 × 1% / 2% = 5,000 USDT 名义价值。

它和半凯利的本质关系:

• 1% 规则锁定的是"亏损",凯利锁定的是"投入比例"。
• 1% 规则不需要你估胜率和盈亏比——只要你能定止损位就行。
• 1% 规则等价于"对一个胜率 50%、盈亏比 2 的策略用约 0.12× 凯利"——比四分之一凯利更保守。

谁该用哪个?编辑组的判断:

如果你不确定自己属于哪类——默认用 1%。这不是劝退,是经验:我们见过太多人看完凯利公式立刻上 30% 仓位,3 周内归零。Thorpe 自己 50 年职业生涯都没用过全凯利,你也别。

7. 4 个常见误用。

① 对冲交易直接套凯利公式。

错。凯利公式假设的是独立的、二元的赌局。资金费率套利、跨所搬砖,盈亏不是离散的两个结果而是连续收益,要用夏普率优化的连续凯利变种(Optimal f for Continuous Outcomes),不是经典 (bp−q)/b。强行用经典公式,仓位会严重偏大。

② 盈亏不对称的策略当成对称用。

有些策略止损紧止盈远 b=4;有些止损宽止盈近 b=0.8。不能用"平均胜率 55%"一刀切——要把策略按盈亏比分桶,每桶单独算凯利。编辑组实战:分成突破型(b>2)、震荡型(b=1-1.5)、超短型(b<1)三类,每类独立跑,总仓位不超过单类凯利的 0.5 倍。

③ 把"复利期望最大化"和"算术期望最大化"搞混。

凯利最大化的是对数收益期望 E[log(1+rf)],不是算术收益期望 E[rf]。前者考虑了"亏 50% 要赚 100% 才回本"的非对称性,后者没考虑。如果你算出来仓位明显大于凯利,说明你用的是算术期望——这是数学错误,不是风格选择。

④ 把凯利仓位当成"杠杆倍数"用。

凯利算出 f*=0.35,意思是"35% 资金作为风险敞口",不是"35% 资金开 10x 杠杆"。后者相当于 350% 凯利——一次反向 10% 行情直接爆。正确做法:35% 资金 × 1-2x 杠杆。在合约上用 10x,凯利仓位要除以 10——3.5% 资金开 10x,等同于 35% 风险敞口。

8. 常见问题。

下一步该看什么。

• 凯利仓位计算器 — 输入你的胜率和盈亏比,直接出全凯利 / 半凯利 / 四分之一凯利三档仓位。
• 仓位风险计算器 — 按 1% 风险规则反算应该开多少 USDT 名义价值。
• 资金费率完整指南 — 长期持仓的隐藏成本,要算进凯利公式的 b 里。
• 5 个被误读的指标 — 包括"胜率 60% 就稳赚"这种常见误区的拆解。
• 一周指标 checklist — 把"复盘 30 单胜率盈亏比"放进每周流程。
• 术语表 — 凯利公式、夏普率、最大回撤、Kelly 分数等术语完整定义。
• 免责声明 — 本文不构成投资建议,实测数据有样本局限。